Les Équations du Second Degré

Un guide simple pour résoudre \( ax^2 + bx + c = 0 \)

Les Bases

Qu’est-ce qu’une équation du second degré ?

C’est une équation où on a un \( x^2 \) :

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

Les chiffres à repérer :

  • \( a \) : le nombre devant \( x^2 \) (doit être différent de 0).
  • \( b \) : le nombre devant \( x \).
  • \( c \) : le nombre tout seul.

Exemple : Dans \( 2x^2 - 3x + 1 = 0 \), \( a = 2 \), \( b = -3 \), \( c = 1 \).

Le Discriminant (\( \Delta \))

C’est une astuce pour savoir combien de solutions on a :

\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

Que dit \( \Delta \) ?

  • Si \( \Delta > 0 \) : deux solutions différentes.
  • Si \( \Delta = 0 \) : une seule solution.
  • Si \( \Delta < 0 \) : pas de solution réelle (solutions imaginaires).
Formule :
\( \Delta > 0 \)
Deux solutions :
\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( \Delta = 0 \)
Une solution :
\( x = \frac{-b}{2a} \)
\( \Delta < 0 \)
Pas de solution réelle
Attention : Si \( a = 0 \), ce n’est plus une équation du second degré !

Exemple Pas à Pas

Équation : \( 2x^2 - 4x - 6 = 0 \)

Étape 1 : Trouver \( a \), \( b \), \( c \)

\( a = 2 \), \( b = -4 \), \( c = -6 \)

Étape 2 : Calculer \( \Delta \)

\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 16 + 48 = 64 \]

Comme \( \Delta = 64 > 0 \), il y a deux solutions.

Étape 3 : Trouver les solutions

Utilisons la formule : \( x = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \) ou \( x = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \)

  • Première solution : \( x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 2} = \frac{4 + 8}{4} = \frac{12}{4} = 3 \)
  • Deuxième solution : \( x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 2} = \frac{4 - 8}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \)

Étape 4 : Vérifier

Pour \( x = 3 \) : \( 2(3)^2 - 4(3) - 6 = 18 - 12 - 6 = 0 \). Ça marche !

Pour \( x = -1 \) : \( 2(-1)^2 - 4(-1) - 6 = 2 + 4 - 6 = 0 \). Ça marche aussi !

À toi de jouer !

Exercice 1 : \( 3x^2 - 5x + 2 = 0 \)

Trouve les solutions en suivant les étapes.

\( a = 3 \), \( b = -5 \), \( c = 2 \)

\( \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 \)

\( \Delta > 0 \), donc deux solutions :

  • \( x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 1}{6} = 1 \)
  • \( x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
Exercice 2 : \( x^2 + 4x + 5 = 0 \)

Vérifie s’il y a des solutions réelles.

\( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = 5 \)

\( \Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 \)

\( \Delta < 0 \), donc pas de solutions réelles (solutions imaginaires).

Exercice 3 : \( 4x^2 - 12x + 9 = 0 \)

Trouve la solution unique.

\( a = 4 \), \( b = -12 \), \( c = 9 \)

\( \Delta = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0 \)

\( \Delta = 0 \), donc une seule solution :

\( x = \frac{-(-12)}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \)